§ 7.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Дискретная автоматическая система устойчива, если переходные процессы в ней затухают с течением времени.

По аналогии с непрерывными системами выражение для реакции ДАС на произвольный входной сигнал может быть представлено в виде суммы переходной и установившейся составляющих:

Значения выходной величины ДАС в дискретных точках оси времени могут быть найдены по формуле (7.38) при помощи обратного -преобразования:

С математической точки зрения определение устойчивости сводится к выполнению равенства

Как уже отмечалось, изображения и передаточные функции представляют собой обычно дробно-рациональные функции относительно т. е. могут быть представлены в виде

В том случае, если полюсы функций , простые не равные нулю и не совпадающие друг с другом,

переходная составляющая реакции ДАС может быть представлена в виде

Как видно, переходная составляющая реакции зависит не только от динамических свойств системы (полюсов но также и от харак. тера входного сигнала. 1

Из выражения (7.46) следует, что условие устойчивости (7.43) справедливо при выполнении неравенств

Иными словами, для устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического полинома замкнутой системы (полюсы передаточной функции замкнутой системы)

были расположены внутри окружности единичного радиуса с центром в начале координат плоскости

Рис. 7.13. К пояснению «скрытой» неустойчивости в дискретных системах

Таким образом, исследование устойчивости ДАС сводится к изучению расположения корней характеристического полинома относительно единичной окружности. В связи с этим на дискретные системы могут быть распространены все критерии устойчивости непрерывных систем.

Так как ДАС реагирует не на сигнал а лишь на сигнал (из-за наличия импульсного элемента), то условие устойчивости (7.47) гарантирует затухание или незатухание переходной составляющей реакции только в эти дискретные моменты времени. Поэтому возможны случаи «скрытой» неустойчивости, когда затухает, а не затухает или расходится (рис. 7.13). Следовательно, для ДАС необходима дополнительная проверка устойчивости на вычислительных машинах (например, путем моделирования на ЦВМ).

Наиболее широко для ДАС применяются критерии, использующие частотные характеристики разомкнутых систем, что, как уже отмечалось, связано с введением для исследования дискретных систем аппарата -преобразования.

Для получения частотной характеристики необходимо в выражении для передаточной функции сделать подстановку Это значит, что рассматривается установившаяся составляющая реакции ДАС на входной сигнал значения которого в моменты времени образуют так называемую гармоническую решетчатую функцию:

где — амплитуда; со — круговая частота; — начальная фаза гармонической последовательности (7.49).

Заметим, что понятия амплитуды, частоты и фазы в применении гармоническим решетчатым функциям носят в известной мере условный характер, так как в общем случае последовательность (7.49) представляет собой непериодическую функцию Решетчатая функция будет периодической функцией лишь в частном случае, когда частота кратна частоте квантования по времени:

Из (7.50) следует, что частотные характеристики ДАС являются периодическими функциями частоты с периодом

Более удобно для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических характеристик использовать псевдочастоту. Обычно для этой цели применяется так называемое -преобразование, при помощи которого окружность единичного радиуса отображается на мнимую ось плоскости комплексной переменной Для преобразования вводится подстановка

или соответственно

При

где — относительная псевдочастота.

Как видно, периодичность частотных характеристик ДАС при переходе к псевдочастоте исчезает, так как при

а комплексная величина изменяется по мнимой оси от до Поэтому для передаточной функции с -преобразованием можно использовать обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем, так как

Из соотношения (7.53) следует, что

т. е. при одинаковых масштабах по осям частот характеристики совпадают. В этой формуле замена на чисто мнимое число формально аналогична замене на вводимой при построении частотных характеристик непрерывных систем.

В ряде случаев при построении частотных характеристик удобно Использовать абсолютную псевдочастоту

так как для низких частот Отсюда следует, что

при этом частотные характеристики, построенные в функции абсолют, ной псевдочастоты, практически сливаются с частотными характерно, тиками, построенными в функции обычной круговой частоты

Аналогично могут быть построены частотные характеристики разомкнутых ДАС, что позволяет определять условия устойчивости замкнутых систем, пользуясь частотным критерием (как и для непрерывных систем).

Рис. 7.14. Амплитудно-фаэовая характеристика простейшей импульсной системы

Исследуем устойчивость для простейшей импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка при (рис. 7.6, а). В этом случае передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Как видно, разомкнутая импульсная система нейтральна. Условие устойчивости замкнутой ДАС сводится к условию неохвата а.ф.х. показанной на рис. 7.14, точки с координатами

Коэффициент усиления К и период дискретности для обеспечения устойчивости замкнутой системы должны удовлетворять указанному условию.

Для ДАС с более сложными непрерывными частями частотные характеристики при использовании псевдочастоты строятся с меньшими вычислительными трудностями.